下文经出版社授权，摘编自《建筑中的数学之旅》（修订版），[美] 亚力山大·哈恩著，李莉译，人民邮电出版社2023年10月。

　　14世纪和15世纪期间，5种主要的政治势力控制了意大利半岛：3个重要的城邦，即佛罗伦萨、威尼斯和米兰；以罗马为中心的梵蒂冈州；那不勒斯王国。在战火频仍、联盟与边界时常变动的时期，像锡耶纳、热那亚和比萨这样的小城邦的命运起伏不定。尽管这样，制作业还是在城市和乡镇发展起来，它们的市场逐渐扩大，商业活动日益增加。不久商人和银行家阶级与权贵共享财富、土地和影响力。随着商业的发展，对法律和契约协议的需要也随之增长。商人需要知道如何读、写和计算。银行家需要提供簿记方法、扩大灵活的信贷以及评估抵押品。律师需要进行合作及贸易协定谈判。商业和官僚政治的活动变得更复杂，日益需要有才干的职员。商业、金融和法律活动的重要性和广度要求教育多关注实践，少注重理论，提供专业的技能、突出的能力以及世俗的态度。

　　人文主义研究课程初步提供了这种教育。它包括对古代作品的阅读，对语法、法律、修辞、历史和伦理学的研究。商人和统治阶级的成员不仅希望得到教会教义的忠告，还希望得到罗马的实践知识和希腊的世俗哲学。在中世纪，上帝被认为是一切创作的源泉，人类活着是为了为他服务。意大利城邦的公民向古代的智者学习，对他们面临的挑战作出响应，他们发现了上帝赋予自身的创作能力以及推理、思考、行动、想象和建造的能力。这一认识就是文艺复兴（该词在法语中意为重生）的黎明：一个在文学、绘画、雕塑和建筑上取得辉煌成就的时代。两幅著名的绘画捕捉到这一新纪元的推动力量。

　　作为那个时代的肖像和壁画画家、大艺术家之一，拉斐尔（1483—1520）的湿壁画《雅典学派》（School of Athens）描绘了既富古典主义又具文艺复习特征的伟人们在同一场景内交谈的情景。在彩图20中，我们可以看到雪白胡须的柏拉图在中心拱门下和亚里士多德交谈。理想主义的柏拉图在左边，手指天空。他按照莱昂纳多·达芬奇（1452—1519）的样子绘制，达芬奇是位多才多艺的天才，绘制了《蒙娜丽莎》和《最后的晚餐》，用他的绘画艺术给出了对自然的分析以及他自己所设计的机器的运行方式。理性的亚里士多德在柏拉图的右边，手向下垂。在他们的下方，半躺在台阶上的是第欧根尼，他是希腊哲学家，将极端贫困视为美德。前景处靠在大型白色大理石桌上的是希腊哲学家赫拉克利特，他以年轻、专注的米开朗基罗的样子来描绘。米开朗基罗（1475—1564）以其雕塑《大卫》、《摩西》和《哀悼基督》，以及在梵蒂冈西斯廷教堂的天花板上的湿壁画和由他施工的辉煌建筑成为文艺复兴时期最多才多艺的大艺术家。在米开朗基罗的左边，我们看到毕达哥拉斯正在阅读一本大书。在右下角，一个几何学家（很可能是欧几里得，也可能是阿基米德）被绘成伟大的文艺复兴时期的建筑师布拉曼特（1444—1514）的样子，他正弯腰演示几何作图。他旁边背过身站着的是克罗迪斯·托勒密，他手里拿着一个地球仪。拉斐尔还把头戴黑帽的自己放在这一群人里。他们所处的建筑物最有可能是布拉曼特所设计的，那时刚开始在罗马建造的新圣彼得巴西利卡。因为天主教教会的所属机构曾举行过基督教信仰和希腊哲学之间的智力辩论并批准它们在天主教神学内部综合，所以这里是思想家们会面的恰当场所。

　　拉斐尔的《雅典学派》（School of Athens），1508~1511，梵蒂冈。本文图片均来自《建筑中的数学之旅》。

　　米开朗基罗的湿壁画《创造亚当》，如图5-1所示，描绘了强大的上帝以他的形象创造人类。它描绘了正被注入神圣火花的人类，是对高贵人性的诗意表达。拉斐尔和米开朗基罗的绘画都是新时代的象征，证明文艺复兴时期对知识的好奇心和深刻的思想在视觉意象中找到了最灿烂的表现形式。

　　图5-1 米开朗基罗的《创造亚当》（Creation of Adam），西斯廷教堂的一幅场景，1508-1512，梵蒂冈

　　1514年布拉曼特去世后，拉斐尔成为新的建筑大师。有可能正是布拉曼特构想的新圣彼得大教堂被拉斐尔选为他的《雅典学派》中伟大人物聚会的场所，见彩图20。在《艺苑名人传》（Lives of The Artists）中，16世纪的画家、建筑家、历史学家和传记作家乔尔乔·瓦萨里（1511—1574）断言布拉曼特实际上设计了拉斐尔的湿壁画中的建筑场景。拉斐尔对圣彼得大教堂项目几乎毫无影响。大教堂的工作因西班牙哈普斯堡王朝（忙于和法国进行权力斗争，争夺对意大利城邦的控制）的军队对罗马的毁灭性占领以及大型建筑花销所造成的持续财政困难而陷入停滞。对比艺术家在16世纪30年代对施工现场的素描与布拉曼特已完成的建筑，发现工程只得到极小进展。拉斐尔确实影响了建筑中的设计工作。在对该建筑的素描中，他给出了底层平面图、立面图和截面图。直到后来这才成为建筑界的标准做法。

　　安东尼奥·桑加洛（1484—1546）于1534年接管了建筑大师一职。他更多以专业技术而非创造能力著称。在桑加洛的领导下，重要的施工得以恢复。桑加洛意识到即使布拉曼特设计的更粗壮的主墩柱也还是太不结实，他用墙堵住墩柱凹进去的部分，对它们进行加固。通过给布拉曼特设计的墩柱及连接拱券加上4个帆拱，他完成了中心结构，之后圣彼得大教堂的鼓座和穹顶将从这里竖起。桑加洛还建造了东部和南部的二层墩柱及把它们与中心结构相连的筒拱顶。他将南部后殿的半圆形墙——这种墙称为半圆室（hemicycle，在希腊语中，hemi意为“半”，cycle意为“圆”）——砌到一楼楼顶。桑加洛对圣彼得大教堂的构想甚至比布拉曼特设计的更恢宏精美。在图5-32布拉曼特的设计之外，新的半圆形区域内要求有礼拜堂和走廊。桑加洛为这些新空间修建的墙壁逐渐蚕食了梵蒂冈的其他建筑。到1546年桑加洛去世之时，该结构预期达到的规模和复杂度以及实际花费已完全失去了控制。

　　教皇要求并不怎么情愿的米开朗基罗来接管教堂的施工。米开朗基罗不能拒绝教皇的要求，但坚持要求全权负责该项目。这位新的建筑大师给新圣彼得大教堂的设计及施工都带来了理性。他加固并打穿了布拉曼特设计中的墙壁结构，将其内部简化为空旷、连续的空间。通过去除桑加洛设计的外墙，他使光线直接射进内部的各个部分。他减小了教堂的尺寸，并且节省了大量的金钱和施工时间。米开朗基罗用了几项巧妙的措施，就替换了图5-31中布拉曼特的复杂布局，在桑加洛的宏伟构想中占据了主动。米开朗基罗的十字和正方形设计富有凝聚力，合乎理性。它能够实现，也应该进行建造。

　　图5-33展示了米开朗基罗的设计。阴影、交叉平行线个半圆室的轮廓线被加在平面图上，用不同的线来区分施工的建筑师。用浅灰色的交叉平行线画出的区域标出了布拉曼特用来连接他的主墩柱的带镶板的拱券。西侧的后殿和高坛也被绘出轮廓并用浅灰色交叉平行线世纪兴建并由布拉曼特完成的。浅灰色单阴影线部分标出了桑加洛在穹顶四周添加的拱顶及帆拱。平面图左边和右边的两条弧指桑加洛开始兴建，后来又被米开朗基罗移除的外墙。深灰色交叉平行线和轮廓线标出了米开朗基罗的作品。他完成了南侧的半圆室，将北侧的半圆室建到二层高并增加了拱顶。教堂上方鼓座的施工及穹顶的设计也是米开朗基罗的工作。（除了最东部，穹顶及现存的拱顶都是由米开朗基罗的助手吉阿科莫·德拉·波尔塔在16世纪80年代和90年代施工完成的。为了与米开朗基罗设计的南部的半圆室一致，他还重建了西部后殿的半圆室。）

　　图5-33 米开朗基罗为罗马圣彼得大教堂所做的平面图，约始于1546年（添加了阴影和交叉平行线节的最后一段指出罗马人用混凝土建造了许多大型结构。混凝土墙一般用砖贴面以便加固并保护外表面。中世纪建筑则用石块（砖是便宜的替代品），而并不是按罗马人那样方便地使用混凝土。布拉曼特在圣彼得大教堂设计（见图5-31）中的墙壁结构有许多凹进去和不规则的地方，这显然表明他已重新发现了罗马人用混凝土的建造方法。混凝土的强度以及很容易塑造成型的优点更利于实现这些复杂的墙壁结构的施工。图5-34描绘了米开朗基罗设计的南部后殿正面。不只这个正面是弯曲的（遵循弧形的半圆室曲线），它的壁柱、窗户和装饰元素也都位于不同平面上，以不同的角度突出。对米开朗基罗而言，如果没有混凝土—砖结构所带来的灵活性和可塑性（更不用说经济性），不可能获得这样丰富的几何图形。

　　从最开始，新圣彼得大教堂的最大特点就是大型穹顶及其支撑鼓座。它也是施工中最具挑战性的部分。米开朗基罗的理念深受布鲁内莱斯基圣母百花大教堂穹顶的影响。它是唯一能在规模上与之抗衡的原型。米开朗基罗借鉴了它的基础结构部分：开有大窗的鼓座、双层壳构架、拱肋以及顶部加盖采光亭。不过新圣彼得大教堂的穹顶及其鼓座的设计细节需要变化，要根据结构整体来进行定义。图5-35是米开朗基罗（或在他的监督下其助手）进行的研究。注意鼓座外面的双柱是如何与图5-34中正面的成对大型壁柱平行的。米开朗基罗感觉对垂直正面的大力强调应继续进行，它向上经过鼓座的双柱，沿穹顶外部弯曲的拱肋，再集中到作品的焦点即采光亭上。米开朗基罗在圣彼得大教堂的设计中，将圣母百花大教堂穹顶鼓座和拱肋的8重对称加倍到16重，这样就加大了对垂直的强调。穹顶的鼓座于1557年兴建，图5-36展示了它在1562年的施工情况。图中能看到用来保持圆柱形的绳子。1564年，鼓座即将完成之际，米开朗基罗去世，圣彼得大教堂的工作再度中断。

　　建筑师和雕塑家吉阿科莫·德拉·波尔塔（1533—1602）在1573年接管项目后，工程又继续进行。德拉·波尔塔参与了罗马许多重要建筑的工作，成为罗马16世纪后半叶的主建筑师。德拉·波尔塔重建了圣彼得大教堂的西侧后殿，并在西侧建了拱顶（见图5-33）。西斯科特五世成为教皇后，该项工程进入高速发展的时期。作为教皇中最伟大的建设者，他批准了德拉·波尔塔的穹顶设计并推动它的建造。德拉·波尔塔保留了米开朗基罗设计的基础，但抬高了穹顶的纵侧面，增加了的穹顶高度使该穹顶更加明显地凌驾于教堂的主结构之上。比较图5-35和图5-37可知，德拉·波尔塔主要通过拉长鼓座并在上面加盖阁楼来获得更大的高度，而穹顶本身的高度则只增加一点。内壳内部的纵向截面图是由两条圆弧所确定的尖拱。因为两个圆的圆心（图5-37中的点P和Q）离得很近，所以这个截面接近一个半圆。实际上，穹顶内部高度与穹顶在起拱线。与横截面为半圆的穹顶高度与底面直径的比值0.5相比，它超出的并不明显。（参见问题9）。穹顶外壳的外截面图也是一个尖拱，它比内壳要略微陡一些。

　　教皇认命建筑师兼工程师多梅尼科·丰塔纳（1543—1607）协助德拉·波尔塔。 穹顶的施工始于1588年南宫NG·28，在一段时间内，施工现场有600~800人保证工程不间断地进行。阁楼延续了鼓座的圆柱形状。16条大型砌筑拱肋从阁楼的顶部向上延伸，它们之间距离相等，并都向内弯曲。随着高度的增加，拱肋越来越细，而朝着穹顶垂直轴方向的横向厚度则越来越大，从基部的约1.8米增加到顶部的约4.9米。图5-38展示了穹顶形状的变化情况。穹顶的内外壳用砖、石灰块和灰泥建造，它们都在支撑拱肋之间的16块曲面内，其高度同步增加。它们的水平截面并不是正十六边形（像布鲁内莱斯基的穹顶的八边形横截面图所展示的那样），而是被建成圆形，与鼓座和阁楼的横截面一样。内壳约为2米厚，外壳约为0.9米厚。3个铁环被砌进并围绕穹顶一周，其中两个比阁楼稍高，另一个稍高于两个壳的分离点。这些铁链的横截面约为6.35×6.35平方厘米，用来限制巨大的向外的侧推力。图5-37中铁链用虚线表示，记为a、b和c。（图中的其他铁链是很久之后又增加的。）

　　令人难以置信的是，这个穹顶不到两年就建成了。木制拱鹰架由从阁楼上方内侧墙上的支撑点斜向上伸出的梁所承载，支撑着对壳的建造。回忆一下，布鲁内莱斯基在佛罗伦萨竖立穹顶时，没有使用拱鹰架。那为什么不遵循这一先例？因为德拉·波尔塔知道他的穹顶会比佛罗伦萨的扁平，而且建造速度将更快。布鲁内莱斯基的穹顶更陡，这意味着它的壳中连续的八边形砖层会得到其底部已完成结构的更多支撑。他的穹顶历经16年才完工，这就使其在承受大负载之前，有充足的时间让灰泥粘合砖层。德拉·波尔塔决定用拱鹰架结构支撑穹顶不断增高的壳，从而降低以极快速度建设扁平穹顶的风险。

　　采光亭花了两年多建成。1593年年底，球和十字架被放到了最顶端。图5-39给出了一幅蚀刻版画，它展示了德拉·波尔塔的穹顶和采光亭雄踞在米开朗基罗设计的南侧半圆室的上方。穹顶东边的建筑群包括旧圣彼得大教堂的遗迹。在圣彼得广场的中央可以看到一座古埃及的方尖碑。距离穹顶完工仅仅几年前，人们付出了巨大的努力才将这座方尖碑移到了广场的中心位置。这座方尖碑的故事会在讨论5.2中讲述。

　　圣彼得大教堂在接下来的20年内竣工，它应该是圆形的还是巴西利卡式的问题终于得到了解决。教皇最终批准了有一个狭长中殿和宽敞入口的巴西利卡设计，而不是布拉曼特和米开朗基罗所构想的圆形设计。中殿应包含一个带镶板的筒拱顶，其形式与穹顶的支撑拱券相同。它应被分成3个隔间，由拱券和墩柱支撑，每边都向侧廊敞开。东边的老结构被推翻，1612年，新建筑大师卡罗·马德诺（1556—1629）完成了中殿和入口区及其正面的建造。

　　图5-40中，科达齐的绘画记录了圣彼得大教堂在完工几年之后的情况。它用奇特的暗色调描绘了穹顶及其鼓座，画中还包含了两座后来饱受争议的钟楼，如今它们已不复存在。从绘画中可以看出，马德诺的正面反映了图5-34米开朗基罗用南侧半圆室确立的特征。这些特征包括大型科林斯式壁柱、一系列或宽或窄的隔间、爱奥尼亚式柱围出的阳台、交替出现的三角形和弧形山花以及对整体布局的垂直表达。科达齐的绘画还表明，马德诺设计的正面的阁楼几乎完全封闭，只开了很小的矩形窗，这就减缓了正面向上的流动。与它相反，米开朗基罗设计的南侧半圆室的阁楼的拱形大开口则促进了这一流动。圣彼得大教堂的外部表面和穹顶表达了米开朗基罗的构想，而巴西利卡狭长的中殿和宽广的正面则没有表达。

　　圣彼得大教堂的建造花了120年。那个时代最伟大的建筑师贡献出他们的聪明才智，使这座新教堂成为今天基督教信仰的辉煌的纪念碑。布拉曼特设计了新教堂的中部核心，米开朗基罗塑造了该结构的主要方面，德拉·波尔塔抬高了它的巨大穹顶，马德诺延长了它的中殿并赋以巴西利卡外形。还有济安·洛伦佐·贝尼尼用巴洛克表达巴西利卡的内部并建造了环绕圣彼得广场的柱廊。